Bairesche σ-Algebra

Die bairesche σ-Algebra ist in der Maßtheorie die kleinste σ-Algebra eines topologischen Raumes, so dass die reellwertigen stetigen Funktionen messbar sind. Sie wird durch die Baire-Mengen erzeugt, diese sind Borel-Mengen, die keine pathologischen Eigenschaften besitzen. Die bairesche σ-Algebra ist somit eine Unter-σ-Algebra der borelschen σ-Algebra

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)\subseteq {\mathcal {B}}(X).}$

Die bairesche σ-Algebra ist nach René Louis Baire benannt. In der Literatur existieren unterschiedliche Definition der Baire-Mengen, die zum Teil nicht äquivalent sind. Folglich gibt es auch unterschiedliche Definitionen der baireschen σ-Algebra und des Baire-Maßes. Wir folgen Wladimir Igorewitsch Bogatschow.^[1]

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle C(X,\mathbb {R} )}$ der Raum der reellwertigen, stetigen Funktionen über ${\displaystyle X}$. Die bairesche σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)}$ wird durch die Mengen

${\displaystyle \{x\in X\colon f(x)>0\}}$

erzeugt, wobei ${\displaystyle f\in C(X,\mathbb {R} )}$.^[1]

• Die gleiche σ-Algebra wird durch die beschränkten, stetigen Funktionen erzeugt.
• Die σ-Algebra wird durch die Mengen ${\displaystyle f^{-1}(\{0\})}$ mit ${\displaystyle f\in C(X,\mathbb {R} )}$ erzeugt.^[2]

• In einem metrischen Raum ${\displaystyle (X,d)}$ gilt ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)={\mathcal {B}}_{0}(X)}$.
• Sei ${\displaystyle T}$ eine überabzählbare Menge und ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{T}}$ (beachte, ${\displaystyle X}$ ist nicht metrisierbar). Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)<{\mathcal {B}}(X)}$, aber ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)={\mathcal {E}}(X,X')}$ wobei ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ die zylindrische σ-Algebra bezeichnet.^[3]

Eine Menge in ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)}$ heißt Baire-Menge. Ein Maß ${\displaystyle \mu :{\mathcal {B}}_{0}(X)\to \mathbb {R} _{+}}$ heißt Baire-Maß.

• Jede Baire-Menge ist durch eine abzählbare Familie von Funktionen bestimmt, das heißt sie haben die Form

${\displaystyle \{x\colon (f_{1}(x),f_{2}(x),\dots ,f_{n}(x),\dots )\in B\},\;f_{i}\in C(X,\mathbb {R} ),\;B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\infty }),}$

und alle Mengen dieser Form sind Baire-Mengen und ${\displaystyle C(X,\mathbb {R} )}$ kann durch ${\displaystyle C_{b}(X,\mathbb {R} )}$ ersetzt werden.^[4]

• Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, doi:10.1007/978-3-540-34514-5 (Kapitel 6). 
• R. F. Wheeler: A survey of Baire measures and strict topologies. In: Exposition. Math. Band 77, 1983, S. 97–190. 

1. ↑ ^{a b} Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, S. 12, doi:10.1007/978-3-540-34514-5. 
2. ↑ Vakhania, N.N., Tarieladze, V.I., Chobanyan, S.A: Probability Distributions on Banach Spaces. Hrsg.: Springer. Dordrecht 1987 (Kapitel 1). 
3. ↑ Vladimir I. Bogachev: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-1-4704-1869-4, S. 374. 
4. ↑ Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, S. 13, doi:10.1007/978-3-540-34514-5.