Stirlingova čísla
![ikona](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Question_book-new.svg/48px-Question_book-new.svg.png)
Stirlingova čísla jsou čísla hojně využívaná ve více oblastech matematiky, nejčastěji se s nimi můžeme setkat v matematické analýze, diskrétní matematice, zejména v kombinatorice. Byla pojmenována po skotském matematikovi Jamesi Stirlingovi, který je definoval v 18. století.
Stirlingova čísla dělíme na dvě kategorie:
- Stirlingova čísla prvního druhu
- Stirlingova čísla druhého druhu
Stirlingova čísla prvního druhu
Značení
Stirlingova čísla prvního druhu nejčastěji označujeme , dále se můžeme setkat s označením nebo .
Definice
Stirlingova čísla prvního druhu definujeme jako „počet permutací na n-prvkové množině s k cykly“.
Tabulka hodnot
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | |||||||||
1 | 0 | 1 | ||||||||
2 | 0 | 1 | 1 | |||||||
3 | 0 | 2 | 3 | 1 | ||||||
4 | 0 | 6 | 11 | 6 | 1 | |||||
5 | 0 | 24 | 50 | 35 | 10 | 1 | ||||
6 | 0 | 120 | 274 | 225 | 85 | 15 | 1 | |||
7 | 0 | 720 | 1764 | 1624 | 735 | 175 | 21 | 1 | ||
8 | 0 | 5040 | 13068 | 13132 | 6769 | 1960 | 322 | 28 | 1 | |
9 | 0 | 40320 | 109584 | 118124 | 67284 | 22449 | 4536 | 546 | 36 | 1 |
Stirlingova čísla druhého druhu
Značení
Stirlingova čísla druhého druhu nejčastěji označujeme , dále například .
Definice
Stirlingova čísla druhého druhu definujeme jako „počet rozkladů n-prvkové množiny na k tříd“.
Každá z těchto k tříd musí obsahovat alespoň jeden prvek.
Např. , neboli „počet rozkladů tří prvkové množiny na dvě třídy“ si můžeme představit následujícím způsobem.
Prvky v množině označíme jako , máme tedy množinu , chceme ji rozdělit na 2 množiny („třídy“).
Máme tyto možnosti:
- .
Rozdělení nepočítáme, protože druhá množina neobsahuje alespoň jeden prvek.
Počet možných rozkladů je 3, neboli .
Tabulka hodnot
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | |||||||||
1 | 0 | 1 | ||||||||
2 | 0 | 1 | 1 | |||||||
3 | 0 | 1 | 3 | 1 | ||||||
4 | 0 | 1 | 7 | 6 | 1 | |||||
5 | 0 | 1 | 15 | 25 | 10 | 1 | ||||
6 | 0 | 1 | 31 | 90 | 65 | 15 | 1 | |||
7 | 0 | 1 | 63 | 301 | 350 | 140 | 21 | 1 | ||
8 | 0 | 1 | 127 | 966 | 1701 | 1050 | 266 | 28 | 1 | |
9 | 0 | 1 | 255 | 3025 | 7770 | 6951 | 2646 | 462 | 36 | 1 |