Metoda dělení základem

Metoda dělení základem je metoda určená pro převod celých čísel mezi soustavami. Metoda spočívá v postupném celočíselném dělení původního čísla základem cílové soustavy a sepisování zbytku po dělení.

Postup

Mějme celé číslo N A {\displaystyle N_{A}} vyjádřené v soustavě o základu r A {\displaystyle r_{A}} na m {\displaystyle m} platných číslic polynomem dle vzorce

N A = ∑ i = 0 m − 1 a i ⋅ r A i = a m − 1 ⋅ r A m − 1 + a m − 2 ⋅ r A m − 2 + … + a 0 ⋅ r A 0 {\displaystyle N_{A}=\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}{\cdot }r_{A}^{i}=a_{m-1}{\cdot }r_{A}^{m-1}+a_{m-2}{\cdot }r_{A}^{m-2}+\ldots +a_{0}{\cdot }r_{A}^{0}\,\!}

Chceme jej vyjádřit v soustavě o základu r B {\displaystyle r_{B}} jako

N B = ∑ i = 0 n − 1 b i ⋅ r B i = b n − 1 ⋅ r B n − 1 + b n − 2 ⋅ r B n − 2 + … + b 0 ⋅ r B 0 {\displaystyle N_{B}=\sum _{i=0}^{n-1}b_{i}{\cdot }r_{B}^{i}=b_{n-1}{\cdot }r_{B}^{n-1}+b_{n-2}{\cdot }r_{B}^{n-2}+\ldots +b_{0}{\cdot }r_{B}^{0}\,\!}

Tento výraz můžeme celočíselně vydělit základem r B {\displaystyle r_{B}} , přičemž dostaneme podíl P {\displaystyle P} a zbytek Z {\displaystyle Z} . Můžeme pak psát

N B = P ⋅ r B + Z = ( b n − 1 ⋅ r B n − 2 + b n − 2 ⋅ r B n − 3 + … + b 1 ⋅ r B 0 ) ⋅ r B + b 0 {\displaystyle N_{B}=P\cdot r_{B}+Z=(b_{n-1}{\cdot }r_{B}^{n-2}+b_{n-2}{\cdot }r_{B}^{n-3}+\ldots +b_{1}{\cdot }r_{B}^{0})\cdot r_{B}+b_{0}\,\!}

Zbytek Z {\displaystyle Z} tudíž představuje číslici b 0 {\displaystyle b_{0}} . K určení koeficientu b 1 {\displaystyle b_{1}} vydělíme zcela analogicky polynom P {\displaystyle P} základem r B {\displaystyle r_{B}} . Celý postup opakujeme dokud nebude výsledek dělení nulový.

Výsledkem převodu je číslo N B {\displaystyle N_{B}} , které má jednotlivé číslice zapsané pozičně jako b n − 1 b n − 2 … b 0 {\displaystyle b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_{0}} .

Příklad

Převod čísla ( 109 ) 10 {\displaystyle (109)_{10}\,\!} do binární soustavy.

dělení   podíl zbytek význam
( 109 ) 10 / 2 {\displaystyle (109)_{10}/2\,\!} = {\displaystyle =\,\!} 54 {\displaystyle 54\,\!} 1 {\displaystyle 1\,\!} nejméně významná číslice
( 54 ) 10 / 2 {\displaystyle (54)_{10}/2\,\!} = {\displaystyle =\,\!} 27 {\displaystyle 27\,\!} 0 {\displaystyle 0\,\!}
( 27 ) 10 / 2 {\displaystyle (27)_{10}/2\,\!} = {\displaystyle =\,\!} 13 {\displaystyle 13\,\!} 1 {\displaystyle 1\,\!}
( 13 ) 10 / 2 {\displaystyle (13)_{10}/2\,\!} = {\displaystyle =\,\!} 6 {\displaystyle 6\,\!} 1 {\displaystyle 1\,\!}
( 6 ) 10 / 2 {\displaystyle (6)_{10}/2\,\!} = {\displaystyle =\,\!} 3 {\displaystyle 3\,\!} 0 {\displaystyle 0\,\!}
( 3 ) 10 / 2 {\displaystyle (3)_{10}/2\,\!} = {\displaystyle =\,\!} 1 {\displaystyle 1\,\!} 1 {\displaystyle 1\,\!}
( 1 ) 10 / 2 {\displaystyle (1)_{10}/2\,\!} = {\displaystyle =\,\!} 0 {\displaystyle 0\,\!} 1 {\displaystyle 1\,\!} nejvíce významná číslice

Tedy ( 109 ) 10 = ( 1101101 ) 2 {\displaystyle (109)_{10}=(1101101)_{2}\,\!} .

Související články