Maxwellův tenzor

V elektrodynamice se pojmem Maxwellův tenzor označuje tenzor napětí vyjadřující tok hybnosti elektromagnetického pole zvolenou plochou. V jednotkách SI je pro izotropní prostředí dán vztahem

σ = 1 2 δ ( E ⋅ D + H ⋅ B ) − E ⊗ D − H ⊗ B , {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\delta }}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} \right)-\mathbf {E} \otimes \mathbf {D} -\mathbf {H} \otimes \mathbf {B} ,}

kde δ značí jednotkový tenzor druhého řádu, resp. analogicky ve složkách jako

σ i j = 1 2 δ i j ( E k D k + H k B k ) − E i D j − H i B j . {\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{2}}\delta _{ij}\left(E_{k}D_{k}+H_{k}B_{k}\right)-E_{i}D_{j}-H_{i}B_{j}.}

S pomocí Maxwellova tenzoru lze formulovat zákon zachování hybnosti pro elektromagnetické pole jako rovnici kontinuity

∂ g ∂ t + d i v σ = − f , {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {g} }{\partial t}}+\mathrm {div} \,{\boldsymbol {\sigma }}=-\mathbf {f} ,}

kde f {\displaystyle \mathbf {f} } je hustota síly působící na daný objem a g = D × B {\displaystyle \mathbf {g} =\mathbf {D} \times \mathbf {B} } je hustota hybnosti elektromagnetického pole. Analogicky ve složkách

∂ g i ∂ t + ∂ σ i j ∂ x j = − f i . {\displaystyle {\frac {\partial g_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}=-f_{i}.}

Tenzor elektromagnetického pole

V teorii relativity se používá obecnější tenzor, který se označuje jako tenzor elektromagnetického pole.


Použijeme-li čtyřpotenciál elektromagnetického pole ve tvaru

A ι = ( φ , − c A ) {\displaystyle A_{\iota }=(\varphi ,-c\mathbf {A} )} ,

kde φ {\displaystyle \varphi } je skalární potenciál elektrostatického pole a A {\displaystyle \mathbf {A} } je vektorový potenciál magnetického pole, pak z parciálních derivací čtyřpotenciálu podle prostoročasových souřadnic lze vytvořit antisymetrický tenzor druhého řádu

F ι κ = ∂ A κ ∂ x ι − ∂ A ι ∂ x κ {\displaystyle F_{\iota \kappa }={\frac {\partial A_{\kappa }}{\partial x^{\iota }}}-{\frac {\partial A_{\iota }}{\partial x^{\kappa }}}}

pro ι , κ = 0 , 1 , 2 , 3 {\displaystyle \iota ,\kappa =0,1,2,3} . Tento tenzor se nazývá tenzorem elektromagnetického pole.


Složky tenzoru elektromagnetického pole je možné vyjádřit prostřednictvím složek elektrické intenzity E {\displaystyle \mathbf {E} } a magnetické intenzity H {\displaystyle \mathbf {H} }

F ι κ = ( 0 − E 1 − E 2 − E 3 E 1 0 H 3 − H 2 E 2 − H 3 0 H 1 E 3 H 2 − H 1 0 ) = ( 0 − E i E k H i k ) {\displaystyle F_{\iota \kappa }={\begin{pmatrix}0&-E_{1}&-E_{2}&-E_{3}\\E_{1}&0&H_{3}&-H_{2}\\E_{2}&-H_{3}&0&H_{1}\\E_{3}&H_{2}&-H_{1}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-E_{i}\\E_{k}&H_{ik}\end{pmatrix}}} ,

kde ι , κ = 0 , 1 , 2 , 3 {\displaystyle \iota ,\kappa =0,1,2,3} a i , k = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i,k=1,2,3} .

Pro složky kontravariantního tenzoru pak dostaneme

F ι κ = ( 0 E 1 E 2 E 3 − E 1 0 H 3 − H 2 − E 2 − H 3 0 H 1 − E 3 H 2 − H 1 0 ) = ( 0 E i − E k H i k ) {\displaystyle F^{\iota \kappa }={\begin{pmatrix}0&E^{1}&E^{2}&E^{3}\\-E^{1}&0&H^{3}&-H^{2}\\-E^{2}&-H^{3}&0&H^{1}\\-E^{3}&H^{2}&-H^{1}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&E^{i}\\-E^{k}&H^{ik}\end{pmatrix}}}

Související články