Funkce gimel

Funkce gimel je pojem z teorie množin, který tematicky patří do kardinální aritmetiky.

Definice

Funkci gimel je definována pro nekonečný kardinál ${\displaystyle \lambda \,\!}$ jako
${\displaystyle \gimel (\lambda )=\lambda ^{cf(\lambda )}\,\!}$ .
Symbol ${\displaystyle cf(\lambda )\,\!}$ zde označuje kofinál kardinálu ${\displaystyle \lambda \,\!}$.

Význam a vlastnosti

Funkce gimel se používá při vyšetřování průběhu kardinální mocniny.

Pro regulární kardinály platí:
${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\gimel (\aleph _{\alpha })\,\!}$

Pro singulární kardinály vyslovil v roce 1974 Robert Solovay tzv. hypotézu singulárních kardinálů:
Pro každý singulární kardinál ${\displaystyle \aleph _{\alpha }\,\!}$ platí
${\displaystyle \gimel (\aleph _{\alpha })=max(\aleph _{\alpha +1},2^{\aleph _{\alpha }})\,\!}$

Z Königovy nerovnosti plyne ${\displaystyle \,\lambda <\gimel (\lambda )}$ a také ${\displaystyle \,cf(\lambda )<cf(\gimel (\lambda ))}$, tedy speciálně ${\displaystyle \,cf(\gimel (\lambda ))>\aleph _{0}}$ pro každé ${\displaystyle \,\lambda }$.

Související články

• Funkce alef
• Funkce beth
• Kardinální aritmetika
• Hypotéza singulárních kardinálů
• Zobecněná hypotéza kontinua
• Singulární kardinál
• Regulární kardinál
• Kofinál
• Gimel