Bolzanova–Weierstrassova věta

Bolzanova–Weierstrassova věta je základní matematické tvrzení o konvergenci posloupností v konečném euklidovském prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Věta říká, že každá nekonečná omezená posloupnost v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ obsahuje konvergentní vybranou posloupnost.^[1] (Jinými slovy lze z každé omezené posloupnosti čísel nebo konečněrozměrných vektorů vybrat posloupnost, která konverguje k nějakému pevnému číslu nebo vektoru.) Ekvivalentní formulace říká, že podmnožina ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ je sekvenčně kompaktní právě tehdy, když je uzavřená a omezená.^[2] Tvrzení se proto někdy nazývá věta o sekvenční kompaktnosti.^[3]

Bolzanova–Weierstrassova věta je pojmenována po matematicích Bernardu Bolzanovi a Karlu Weierstrassovi. Poprvé ji dokázal český teolog a matematik Bolzano v roce 1817 jako lemma v rámci důkazu věty o střední hodnotě. O zhruba padesát let později byl výsledek rozpoznán jako významný sám o sobě a německý matematik Weierstrass jej dokázal znovu. Od té doby se stal základní větou matematické analýzy.

Důkaz

Nejprve dokážeme větu pro ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ (množinu všech reálných čísel), přičemž využijeme fakt, že ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ je uspořádaná množina (čísla lze seřadit podle velikosti). Pak tvrzení zobecníme na vyšší rozměry.

Lemma: Z každé nekonečné posloupnosti ${\displaystyle (x_{n})}$ v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ lze vybrat monotónní (tj. buď neklesající anebo nerostoucí) posloupnost.

Důkaz^[4]: Označme kladný celočíselný index ${\displaystyle n}$ sekvence jako vrchol sekvence, pokud ${\displaystyle x_{m}\leq x_{n}}$ pro každé ${\displaystyle m>n}$ (tj. všechny členy následující po vrcholu jsou menší nebo rovny členu s indexem vrcholu). Předpokládejme nejprve, že posloupnost má nekonečně mnoho vrcholů, což znamená, že existuje vybraná posloupnost těchto vrcholů ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<n_{3}<\dots <n_{j}<\dots }$ s hodnotami ${\displaystyle x_{n_{1}}\geq x_{n_{2}}\geq x_{n_{3}}\geq \dots \geq x_{n_{j}}\geq \dots }$ . Takže nekonečná posloupnost ${\displaystyle (x_{n})}$ v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ obsahuje nerostoucí, a tedy monotónní posloupnost. Pokud naopak vrcholů je nanejvýš konečně mnoho, tak existuje ${\displaystyle N}$ jako nevyšší vrchol (není-li v posloupnosti vůbec žádný vrchol, položíme ${\displaystyle N}$ rovno jedné) a budeme vytvářet vybranou posloupností ${\displaystyle (x_{n_{j}})}$, kde ${\displaystyle n_{1}=N+1}$. Jelikož ${\displaystyle n_{1}}$ není vrchol (protože ${\displaystyle n_{1}}$ následuje po nejvyšším vrcholu), tak musí existovat ${\displaystyle n_{2}}$ tak, že ${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$ a ${\displaystyle x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}}$. Ani ${\displaystyle n_{2}}$ není ze stejného důvodu vrchol, proto existuje ${\displaystyle n_{3}}$, kde ${\displaystyle n_{2}<n_{3}}$ s ${\displaystyle x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}}$. Opakování tohoto procesu vede k nekonečné neklesající posloupnosti ${\displaystyle x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}\leq \ldots }$ To dokazuje, že z každé nekonečné posloupnosti ${\displaystyle (x_{n})}$ v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ lze vybrat monotónní posloupnost. Tím je lemma dokázáno.

Pokud jsme vybírali z omezené posloupnosti, je vybraná monotónní posloupnost rovněž omezená. Z věty o monotónní konvergenci pak vyplývá, že tato monotónní posloupnost konverguje. Tím jsme Bolzanovu–Weierstrassovu větu dokázali pro ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$.

Obecný případ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ lze redukovat na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ takto: Nechť je dána omezená posloupnost v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Posloupnost prvních souřadnic je omezená reálná posloupnost, má tedy konvergentní podposloupnost. Z té pak lze vybrat posloupnost, na které konverguje druhá souřadnice, a tak dále, dokud nakonec nevybereme posloupnost, na které konverguje všech ${\displaystyle n}$ souřadnic — což je stále posloupnost vybraná z původní posloupnosti. Tím je důkaz dokončen.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bolzano–Weierstrass theorem na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Bolzanova–Weierstrassova věta na Wikimedia Commons

Literatura

• BARTLE, Robert G.; SHERBERT, Donald R. Introduction to Real Analysis. 3. vyd. New York: J. Wiley, 2000. Dostupné online. ISBN 9780471321484. Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
• FITZPATRICK, Patrick M. Advanced Calculus. 2. vyd. Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2006. ISBN 0-534-37603-7. Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.