El Teorema de Viviani, pel matemàtic italià Vincenzo Viviani, diu que la suma de les distàncies des de qualsevol punt interior als costats d'un triangle equilàter és constant i igual a l'alçada del triangle.[1]
Demostració
Per demostrar-ho cal tenir en compte la proposició, ja demostrada, que l'àrea de qualsevol triangle és igual a la meitat del producte de la seva base per la seva altura.
Sigui un triangle equilàter d'alçada i de costat .
Sigui un punt qualsevol a l'interior del triangle, i , , les distàncies de als tres costats del triangle. Les línies que uneixen amb cadascun dels vèrtexs del triangle , i , formen els tres triangles , i .
Les àrees de cadascun d'aquests triangles són , , i . Aquests tres triangles cobreixen exactament el triangle sencer, per això la suma de les tres àrees ha de ser igual al àrea del triangle complet.
Per tant, podem escriure:[2]
i, per això:
.
Q.e.d.
Referències
↑Pickover, Clifford A. The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension (en (anglès)). Nova York: Sterling, 2009, p. 150. ISBN 978-1-4027-5796-9.
↑Weisstein, Eric W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (en (anglès)). Boca Raton: CRC Press, 2003, p. 3159. ISBN 1-58488-347-2.