Matriu unitària

En matemàtiques, una matriu quadrada complexa U és unitària si

U^{*}U=UU^{*}=I\,

on I és la matriu identitat i U * és la transposada conjugada de U.

L'anàloga real d'una matriu unitària és una matriu ortogonal.

Propietats

Per qualsevol matriu unitària U, el següent és cert:

Donats dos vectors complexos x i y, la multiplicació per U preserva el seu producte escalar; és a dir,

\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle

U és normal
U és diagonalitzable; és a dir, U is semblant unitàriament a una matriu diagonal, a conseqüència del Teorema espectral. Per tant, U té una descomposició de la forma

U=VDV^{*}\;

on V és unitària i D és diagonal i unitària.

$|\det(U)|=1$ .
Els seus espais propis són ortogonals.
Per qualsevol enter n, el conjunt de totes les matrius unitàries n per n juntament amb el producte matricial forma un grup, anomenat grup unitari U(n).
Qualsevol matriu quadrada amb la norma euclidiana unitària és la mitjana de dues matrius unitàries^[1]

Si U és una matriu complexa quadrada, llavors les següents condicions són equivalents:

U és unitària
U * és unitària
U és invertible, amb U^–1=U *
les columnes de U formen una base ortonormal de $\mathbb {C} ^{n}$ respecte al producte escalar usual
les files de U formen una base ortonormal de $\mathbb {C} ^{n}$ respecte al producte escalar usual
U és una isometria respecte a la norma usual
U és una matriu normal amb valors propis dins la circumferència unitat

↑ Li, Chi-Kwong; Poon, Edward «Additive Decomposition of Real Matrices». Linear and Multilinear Algebra, 50, 4, 01-01-2002, pàg. 321–326. DOI: 10.1080/03081080290025507.

Weisstein, Eric W., «Unitary Matrix» a MathWorld (en anglès).
Ivanova, O. A.. Michiel Hazewinkel (ed.). Unitary matrix. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Mancilla Aguilar, José Luis. «Matrices Simétricas y Hermíticas». Arxivat de l'original el 23 de setembre 2010. [Consulta: 20 juny 2010].