Per a una funció en variables de coordenades cartesianes tridimensionals, el gradient és el camp vectorial:
on i, j, k són els vectors unitarisestàndard per als eixos x, y, z. De manera més general, per a una funció de n variables , també anomenat camp escalar, el gradient és el camp vectorial: on són vectors unitaris mútuament ortogonals.
Com el seu nom indica, el gradient és proporcional i apunta en la direcció del canvi més ràpid (positiu) de la funció.
Per a un camp vectorial , també anomenat camp tensor d'ordre 1, el gradient o derivada total és la matriu jacobianan × n : Per a un camp tensor de qualsevol ordre k, el gradient és un camp tensor d'ordre k + 1.
Per a un camp tensor d'ordre k > 0, el camp tensor d'ordre k + 1 es defineix per la relació recursiva on és un vector constant arbitrari.
Divergència
En coordenades cartesianes, la divergència d'un camp vectorialcontínuament diferenciable és la funció amb valors escalars: Com el seu nom indica, la divergència és una mesura (local) del grau en què els vectors del camp divergeixen.
La divergència d'un camp tensor d'ordre diferent de zero k s'escriu com , una contracció d'un camp tensor d'ordre k − 1. Concretament, la divergència d'un vector és un escalar. La divergència d'un camp tensor d'ordre superior es pot trobar descomposant el camp tensor en una suma de productes externs i utilitzant la identitat, on és la derivada direccional en la direcció de multiplicat per la seva magnitud. Concretament, per al producte exterior de dos vectors,
Per a un camp tensor d'ordre k > 1, el camp tensor d'ordre k − 1 es defineix per la relació recursiva on és un vector constant arbitrari.
Rotacional
En coordenades cartesianes, per el curl és el camp vectorial:
on i, j i k són els vectors unitaris dels eixos x -, y - i z -, respectivament.
Com el seu nom indica, el rínxol és una mesura de quant tendeixen els vectors propers en una direcció circular.
Per a un camp tensor d'ordre k > 1, el camp tensor d'ordre k es defineix per la relació recursiva on és un vector constant arbitrari.
Un camp tensor d'ordre superior a un es pot descompondre en una suma de productes externs i, a continuació, es pot utilitzar la identitat següent: Concretament, per al producte exterior de dos vectors,
Laplacià
En coordenades cartesianes, el laplacià d'una funció és El laplacià és una mesura de quant canvia una funció en una petita esfera centrada en el punt.
Quan el laplacià és igual a 0, la funció s'anomena funció harmònica. És a dir,
Per a un camp tensor, , el laplacià s'escriu generalment com: i és un camp tensor del mateix ordre.
Per a un camp tensor d'ordre k > 0, el camp tensor d'ordre k es defineix per la relació recursiva on és un vector constant arbitrari.
Identitats de primera derivada [4]
Per a camps escalars , i camps vectorials , , tenim les identitats derivades següents.
Propietats distributives
Propietats associatives
Regla de la cadena
Sigui una funció d'una variable d'escalars a escalars, una corba parametritzada, una funció de vectors a escalars, i un camp vectorial. Tenim els següents casos especials de la regla de la cadena multivariable.
Identitats de segona derivada
Divergència del rotacional
La divergència del rotacional de qualsevolcamp vectorialA contínuament doblement diferenciable és sempre zero:
La divergència del gradient és laplacià
El laplacià d'un camp escalar és la divergència del seu gradient: El resultat és una magnitud escalar.
La divergència de la divergència no està definida
La divergència d'un camp vectorial A és un escalar i la divergència d'una magnitud escalar no està definida. Per tant,