Fórmula de Cauchy per a la integració repetida
![]() | No s'ha de confondre amb Fórmula de la integral de Cauchy o Teorema de la integral de Cauchy. |
La fórmula de Cauchy per a la integració repetida, que porta el nom d'Augustin Louis Cauchy, permet comprimir n primitives d'una funció en una única integral. Es generalitza notablement en l'anàlisi fraccionari.
Cas escalar
Sigui f una funció contínua sobre la recta real. Aleshores l'enèsima integral repetida de f amb el punt base a, ve donada per integració única
Prova
La demostració es dona per inducció. Com que f és contínua, el cas base es desprèn del teorema fonamental del càlcul: on
Ara, suposem que això és cert per a n, i ho demostrem per a n+1. En primer lloc, utilitzant la regla integral de Leibniz, tingueu en compte que
Aleshores, aplicant la hipòtesi d'inducció,
Això completa la prova.
Generalitzacions i aplicacions
La fórmula de Cauchy es generalitza a paràmetres no-enters per la integral de Riemann-Liouville, on es substitueix per , i el factorial es substitueix per la funció gamma. Les dues fórmules coincideixen quan .[Nota 1]
Tant la fórmula de Cauchy com la integral de Riemann-Liouville es generalitzen a una dimensió arbitrària pel potencial de Riesz.
En el càlcul fraccional, aquestes fórmules es poden utilitzar per construir una diferintegral, que permet diferenciar o integrar un nombre fraccionari de vegades. La diferenciació d'un nombre fraccionari de vegades es pot aconseguir mitjançant la integració fraccionària i després diferenciant el resultat.
Amb uns quants passos de transformació és possible trobar una fórmula per a la -èsima derivada.
També es poden trobar aplicacions en l'electroquímica, reologia i en la física (problema de la tautòcrona).
Notes
- ↑ La fórmula de Cauchy només s'aplica als nombres naturals perquè el factorial només es defineix per a ells. La integral de Riemann-Liouville permet la integració múltiple no només per als nombres reals sinó també per als nombres complexos utilitzant substituït per on denota la funció gamma: .
Referències
- Beardon, Alan. «Fractional calculus II» (en anglès). Universitat de Cambridge, 2000.
- Cauchy, Augustin Louis. «Trente-Cinquième Leçon». A: Résumé des leçons données à l’Ecole royale polytechnique sur le calcul infinitésimal (en francès). París: Imprimerie Royale, 1823.
- Folland, Gerald B. Advanced Calculus (en anglès). Prentice Hall, 2002, p. 193.