Constant de Copeland-Erdős

La Constant de Copeland-Erdős és una constant definida com la concatenació de "0," amb l'expressió decimal dels nombres primers en ordre creixent.[1] Rep el nom dels matemàtics Arthur Herbert Copeland i Paul Erdős, que demostraren que és una constant 10-normal.[2] Aproximadament pren el valor

0,235711131719232931374143…

Aquest és un nombre irracional, fet que pot provar-se de maneres prou diverses: Com a conseqüència directa del Teorema de Dirichlet de les progressions aritmètiques, a conseqüència del Teorema de Ramaré o immediatament a partir de la demostració de la seva 10-normalitat. La seva expressió en forma de fracció contínua és [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …].

Definició formal

El valor exacte de la constant és

∑ n = 1 ∞ p n 10 − ( n + ∑ k = 1 n ⌊ log 10 ⁡ p k ⌋ ) {\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}\lfloor \log _{10}{p_{k}}\rfloor \right)}}

on { p n } n ∈ N {\displaystyle {\{p_{n}\}}_{n\in \mathbb {N} }} és el conjunt creixentment ordenat de nombres primers.

Normalitat

La normalitat en base 10 (també anomenada 10-normalitat) d'aquesta constant fou demostrada l'any 1946 pels matemàtics que donen nom a aquesta constant, Arthur Herbert Copeland i Paul Erdős. D'aquesta propietat se'n desprèn que es tracta d'una constant irracional.

Bibliografia

  • Hardy G. H. i E. M. Wright (1938) An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, USA; 5a edició (17 d'abril de 1980), ISBN 0-19-853171-0.

Referències

  1. ↑ W., Weisstein, Eric. «Copeland-Erdős Constant» (en anglès). [Consulta: 7 juliol 2018].
  2. ↑ «A033308 - OEIS». [Consulta: 7 juliol 2018].

Vegeu també

  • Nombre normal
  • Constant de Champernowne
  • Nombre primer