Camp fermiònic

En la teoria quàntica de camps, un camp fermiònic és un camp quàntic els quants són fermions; és a dir, obeeixen les estadístiques de Fermi–Dirac. Els camps fermiònics obeeixen a les relacions d'anticomutació canòniques en lloc de les relacions de commutació canòniques dels camps bosònics.^[1]

L'exemple més destacat d'un camp fermiònic és el camp de Dirac, que descriu fermions amb espín-1/2: electrons, protons, quarks, etc. El camp de Dirac es pot descriure com un espinor de 4 components o com un parell de 2 components. -components espinors de Weyl. Els fermions Espín-1/2 Majorana, com l'hipotètic neutralino, es poden descriure com un espinor Majorana de 4 components o un espinor Weyl de 2 components. No se sap si el neutrino és un fermió de Majorana o un fermió de Dirac; l'observació experimental de la doble desintegració beta sense neutrins resoldria aquesta qüestió.^[2]

Els camps fermiònics lliures (no interactius) obeeixen a relacions d'anticomutació canòniques; és a dir, impliquen els anticomutadors { a, b } = ab + ba, en lloc dels commutadors [ a, b ] = ab − ba de la mecànica quàntica bosònica o estàndard. Aquestes relacions també són vàlides per als camps fermiònics que interactuen a la imatge d'interacció, on els camps evolucionen en el temps com si fossin lliures i els efectes de la interacció es codifiquen en l'evolució dels estats.^[3]

Són aquestes relacions d'anticomutació les que impliquen estadístiques de Fermi-Dirac per als quants de camp. També donen lloc al principi d'exclusió de Pauli: dues partícules fermiòniques no poden ocupar el mateix estat alhora.

L'exemple destacat d'un camp de fermió de spin-1/2 és el camp de Dirac (anomenat després de Paul Dirac), i denotat per ${\displaystyle \psi (x)}$. L'equació de moviment d'una partícula de gir lliure 1/2 és l'equació de Dirac,

${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0.\,}$

on ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ són matrius gamma i ${\displaystyle m}$ és la massa. Les solucions més senzilles possibles ${\displaystyle \psi (x)}$ a aquesta equació hi ha solucions d'ones planes, ${\displaystyle u(p)e^{-ip\cdot x}\,}$ i ${\displaystyle v(p)e^{ip\cdot x}\,}$. Aquestes solucions d'ones planes formen una base per als components de Fourier ${\displaystyle \psi (x)}$, permetent l'expansió general de la funció d'ona de la següent manera,

${\displaystyle \psi _{\alpha }(x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\mathbf {p} }^{s}u_{\alpha }^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }v_{\alpha }^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,}$

u i v són espinos, etiquetats per índexs d'espin, s i espinos ${\displaystyle \alpha \in \{0,1,2,3\}}$. Per a l'electró, una partícula de spin 1/2, s = +1/2 o s = -1/2. El factor energètic és el resultat de tenir una mesura d'integració invariant de Lorentz. En segona quantificació, ${\displaystyle \psi (x)}$ es promou a operador, de manera que els coeficients dels seus modes de Fourier també han de ser operadors. Per tant, ${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s}}$ i ${\displaystyle b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$ són operadors. Les propietats d'aquests operadors es poden discernir a partir de les propietats del camp. ${\displaystyle \psi (x)}$ i ${\displaystyle \psi (y)^{\dagger }}$ obeeixen les relacions d'anticomutació:

${\displaystyle \left\{\psi _{\alpha }(\mathbf {x} ),\psi _{\beta }^{\dagger }(\mathbf {y} )\right\}=\delta ^{(3)}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta _{\alpha \beta }.}$

Imposem una relació anticomutadora (en oposició a una relació de commutació com fem per al camp bosònic) per tal de fer compatibles els operadors amb les estadístiques de Fermi-Dirac. En posar les ampliacions per ${\displaystyle \psi (x)}$ i ${\displaystyle \psi (y)}$, es poden calcular les relacions d'anticomutació dels coeficients.

${\displaystyle \left\{a_{\mathbf {p} }^{r},a_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=\left\{b_{\mathbf {p} }^{r},b_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\delta ^{rs},\,}$

D'una manera anàloga als operadors d'aniquilació i creació no relativistes i els seus commutadors, aquestes àlgebres condueixen a la interpretació física que ${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$ crea un fermió de moment p i espín s, i ${\displaystyle b_{\mathbf {q} }^{r\dagger }}$ crea un antifermió d'impuls q i espín r. El camp general ${\displaystyle \psi (x)}$ Ara es veu com una suma ponderada (pel factor d'energia) sobre tots els girs i moments possibles per crear fermions i antifermions. El seu camp conjugat, ${\displaystyle {\overline {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$, és el contrari, una suma ponderada sobre tots els girs i moments possibles per aniquilar fermions i antifermions.^[4]